РЕШАЕМ МАТЕМАТИКУ ВМЕСТЕ!
 
СТУДЕНТАМ:    Учебники     Решебники    Шпаргалки    Контрольные работы   Видео уроки

ШКОЛЬНИКАМ:  ГДЗ - 1 класс  2 класс  3 класс  4 класс  5 класс  6 класс  7 класс  8 класс  9 класс  10 класс  11 класс

Статьи » Статьи по математике » Статьи по математике [ Добавить статью ]

ОБ ОРГАНИЗУЮЩЕЙ РОЛИ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ВТУЗА

ОБ ОРГАНИЗУЮЩЕЙ РОЛИ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ВТУЗА

А.А. Ельцов, Г.А. Ельцова, Л.И. Магазинчиков

Показана организующая роль линейной алгебры в построении и изучении курса высшей математики технического вуза. Приве­дён вариант такого подхода, реализованный в Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники.

    
       Курс математики в техническом вузе состоит из большого числа самостоятельных дисциплин, поэ­тому реальна угроза его распада на отдельные, ма­ло связанные между собой разделы, которые мож­но распределить между разными преподавателями, что порождает проблему преемственности и сты­ковки разных разделов курса. С другой стороны, это единый курс со своей внутренней структурой и иерархией. Поэтому весьма актуальной является задача построения курса с единых позиций. Идея такого построения высказывалась в [1-3]. В статье приведён опыт построения курса, реализованный в Томском государственном университете систем уп­равления и радиоэлектроники.
Системный анализ структуры курса математики показал, что в качестве базового раздела, на основе которого можно построить изложение математики во втузе, может быть выбран курс линейной алгеб­ры. Особое её методологическое значение отмеча­ли многие математики (Г.Е. Шилов [4], Ш. Пизо, М. Заманский [5], М.Р. Куваев [2] и др.).
Возможны различные варианты изложения курса линейной алгебры. Мы предлагаем начинать курс с изучения матриц и их частных случаев век­тор-строк и вектор-столбцов. Во-первых, опера­ции над матрицами достаточно формализованы и декларативное их введение как операций над мас­сивами чисел не вызывает трудностей в усвоении данного материала. Во-вторых, матрицы и вектора могут быть использованы в качестве источника примеров при изучении таких структур, как линей­ные пространства, группы и кольца в самом курсе математики. Кроме того, матричный аппарат це­нен сам по себе и имеет многочисленные примене­ния как в курсе математики, так и во многих дис­циплинах, использующих математику.
Далее мы переходим к изучению систем линей­ных уравнений и связанных с ними определителей и понятием ранга матрицы. Векторная форма записи

системы линейных уравнений позволяет более до­ходчиво объяснить обычно трудно усваиваемые вопросы о линейной зависимости и линейной не­зависимости систем векторов. Применение мат­ричной формы записи систем линейных уравнений позволяет в компактной форме дать доказательства теоремы Крамера, теоремы о наложении решений систем линейных уравнений и следствий послед­ней теоремы, имеющих большое значение для дру­гих линейных объектов: линейных дифференци­альных уравнений и систем линейных дифферен­циальных уравнений. Матричный аппарат также удобен при изложении теории линейных операто­ров. С матричного аппарата предлагают начать курс В.А. Ильин и Э.Г. Поздняк [6].

Курс линейной алгебры является единственным формализованным разделом в курсе математики втуза. Поэтому только здесь удаётся дать понятие о математической структуре и кратко изучить некото­рые из них. Наиболее подробно изучаются структу­ры линейного, аффинного и точечно-векторного евклидова пространства, широко применяемые в дальнейшем. Здесь же полезно дать тесно примыка­ющие к ним понятия метрического, нормированно­го пространств и пространства со скалярным произ­ведением. Очень удобно изложить векторную алгеб­ру как пример линейного пространства, охарактери­зовать здесь геометрически понятия линейной зави­симости и линейной независимости систем векто­ров, базиса в линейном пространстве. Мы предлага­ем излагать аналитическую геометрию как пример приложения векторной алгебры. При таком подходе изложение аналитической геометрии становиться очень компактным. В связи с сокращением числа аудиторных занятий приходится часть материала выносить на самостоятельное изучение. Наш опыт показал, что векторная алгебра и аналитическая ге­ометрия при описанном выше подходе вполне дос­тупны для самостоятельного изучения, особенно при наличии практимумов (сборников задач с боль­шим количеством разобранных примеров).

Мы убедились, что студентам также доступны основные идеи тензорной алгебры, хотя бы на уровне обозначений. Полезно дать и общее опреде­ление тензора. Появление тензорного исчисления в курсе продиктовано необходимостью его исполь­зования в некоторых специальных курсах, читае­мых студентам.

Разделом, переходным между линейной алгеброй и математическим анализом, является глава, посвя- щённая линейным и полилинейным отображениям. Мы предлагаем уже в курсе линейной алгебры дать общее понятие функции f:X<Rn^Y<Rm, классы функций в зависимости от значений m и n и некото­рые другие понятия, (композиция отображений, об­ратное отображение) традиционно относимые к ма­тематическому анализу. Затем наиболее подробно изучаем линейные отображения L:Rn^Rm - линей­ные операторы. Здесь доказываем, что суперпозиция (композиция) линейных операторов и отображение, обратное к линейному оператору, являются линей­ными отображениями. Раздел получается общим для линейной алгебры и математического анализа. Кро­ме объединяющей роли происходит экономия вре­мени, а также показ места линейных отображений среди других типов отображений. Описанный выше вариант чтения линейной алгебры реализован в [7]. Понятие отображения изложено в [8].

Дифференциальное исчисление начинаем с по­нятия дифференцируемых функций, как класса функций, допускающих линеаризацию. Одновре­менно появляются понятия производной матрицы, то есть матрицы соответствующего линейного опе­ратора, и дифференциала, как значение этого ли­нейного оператора на заданном векторе прираще­ний аргументов. Затем подробно изучаем строение производной матрицы для всех наиболее важных случаев. Её элементами являются или производные функции fXcR^YzR, изучаемые в средней шко­ле, или частные производные, понятие о которых вводится уже на первой лекции по дифференци­альному исчислению. Дифференциальное исчис­ление изложено в [8]. Изложение, подобное пред­лагаемому, дано в пособии [9], написанном для пе­дагогических вузов. Можно использовать также книги [10, 11], но они доступны лишь людям с вы­соким уровнем математической культуры.

Очень удобно вводить криволинейные и поверх­ностные интегралы второго рода как интегралы от скалярного произведения вектор-функции f(x,y,z), заданной на кривой или поверхности, на единичный вектор, соответственно, касательной или нормали к ориентированным кривой L или поверхности S. При этом, для вычисления криволинейного и поверхно­стного интегралов второго рода в случае задания кривой или поверхности параметрически или, что то же самое, векторно, используются введённые в век­торной алгебре скалярное и векторное произведе­ния, т.к. вектор нормали к поверхности r=r(u,v) па­раллелен векторному произведению [г^/Л векторов производных rU,rl от вектор-функции r(u,v).

При построении теории однородных линейных дифференциальных уравнений и однородных сис­тем линейных дифференциальных уравнений n-го порядка полезно предварительно дать понятия ли­нейных пространств C[a,b] и Cn[a,b] - соответ­ственно непрерывных и непрерывных вместе с производными до порядка n включительно функ­ций заданных на отрезке [a,b]. Тогда линейные дифференциальные уравнения порядка n можно записать в виде Ly=b(x), где

- линейный дифференциальный оператор, ak(x), k=0,1,...,n, b(x) - непрерывные на отрезке [a,b] функции и a„(x)^0 для всех x из [a,b]. Это позволяет провести аналогию с линейной алгеброй и исполь­зовать многие результаты, полученные в ней. Ос­новной в теории однородных линейных дифферен­циальных уравнений является теорема о том, что множество всех решений уравнения Ly=0 образует n-мерное линейное пространство, доказательство которой опирается на теорему существования и единственности, понятие изоморфизма линейных пространств и теорему о том, что изоморфные пространства имеют одинаковую размерность. После этого теорема о структуре общего решения однородного линейного дифференциального урав­нения становится простым следствием соответству­ющей теоремы линейной алгебры. Тот же способ изложения применяется и при изучении однород­ных систем линейных дифференциальных уравне­ний. Применение матричной формы записи систем линейных дифференциальных уравнений позволя­ет более выпукло показать связь с изученными ра­нее в линейной алгебре понятиями собственных векторов и собственных чисел матриц и линейных операторов. Предлагаемый нами вариант чтения интегрального исчисления и дифференциальных уравнений изложен в учебном пособии [12].

Обобщением задачи о разложении вектора по векторам базиса является задача о представлении функций рядами. Так же как и в [13], мы предлага­ем излагать теорию рядов при изучении функций комплексного переменного. Особенно выигрывает и экономит время при этом способе изложения те­ория степенных рядов и их частного случая - рядов

Тейлора. При этом более выпукло проявляются различия между функциями действительного и комплексного переменного. Интегралы, завися­щие от параметра, обобщают теорию рядов, когда индекс суммирования меняется непрерывно.

В теории рядов Фурье происходит обобщение многих понятий конечномерных пространств, изу­ченных в линейной алгебре, на бесконечномерные. Аналогом задачи о собственных числах и собствен­ных векторах симметрического (самосопряжённо­го) линейного оператора является задача Штурма- Лиувилля о собственных числах и собственных функциях самосопряжённого дифференциального уравнения. В результате решения этой задачи появ­ляются многие ортогональные системы функций, широко применяемые в рядах Фурье. Линейная ал­гебра и в этих вопросах играет свою объединительную роль. Завершается раздел изложением основ­ных идей теории интегральных преобразований на примере преобразований Фурье и Лапласа. Данный вариант изложения теории функций комплексного переменного и теории рядов реализован в [14, 15].

Таким образом, постоянное использование ли­нейной алгебры позволяет достаточно просто и компактно изложить курс математики техническо­го вуза. В процессе реализации изложенного выше под­хода были или будут написаны практикумы (сбор­ники задач с большим количеством разобранных примеров) по различным частям курса. По данной методике ведётся преподавание свы­ше двадцати лет на различных потоках дневных, вечернего и заочного факультетов и в филиалах ТУСУРа.





Категория: Статьи по математике | Добавил: azizzzzzz (23.06.2010) | Автор: E W
Просмотров: 4341 | Комментарии: 0 | Теги: | Рейтинг: 5.0/1





ВЫБОР ПО КАТЕГОРИЯМ:

Статьи по математике [17]
Словарь терминов [2]



При полном или частичном использовании материалов
активная ссылка на портал VMATE.RU обязательна


Высшая математика онлайн - всё бесплатно, наш портал создан специально для студентов кому интересна высшая математика. У нас на портале возможно скачать бесплатно учебники по высшей математике, книги по математике или сделать заказ учебных пособий, скачать контрольные по высшей математике, заказать, задачники по высшей математики и решебники. Оставить запрос по предмету - аналитическая геометрия или задать вопрос - справочная по математике Заказать решение и т.д. Высшая математика онлайн - математический портал и здесь собраны шпаргалки по высшей математике и видео уроки. Добро пожаловать! Вход