РЕШАЕМ МАТЕМАТИКУ ВМЕСТЕ!
 
СТУДЕНТАМ:    Учебники     Решебники    Шпаргалки    Контрольные работы   Видео уроки

ШКОЛЬНИКАМ:  ГДЗ - 1 класс  2 класс  3 класс  4 класс  5 класс  6 класс  7 класс  8 класс  9 класс  10 класс  11 класс

Статьи » Общие публикации » Наши публикации [ Добавить статью ]

Предисловие к книге Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений.
Предисловие к книге Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений.


При решении различных задач естествознания исследователи часто используют язык математики, с помощью которого разрабатываются  математические модели явлений в биологии, физике, химии, экономике, экологии и т.д. С этой целью для математического описания процессов вводятся  количественные характеристики: зависимые и независимые переменные,  соотношения между которыми и составляют основу математической модели.
В последние десятилетия возник огромный интерес к изучению  нелинейных математических моделей, что связано с их широким применением при описании многих явлений в физике и в природе. Два  революционных события послужили мощным толчком к исследованиям в нелинейной науке: открытие солитона и открытие странного аттрактора. И хотя оба  открытия были сделаны при проведении вычислительных экспериментов, их подробное описание стало возможным лишь при использовании методов аналитической теории дифференциальных уравнений.

При построении математических моделей, прежде всего, принимаются во внимание законы сохранения, в которых, как правило, содержатся  производные от переменных. Это обстоятельство приводит к дифференциальным уравнениям, решение которых, с учетом начальных и граничных условий, позволяет представить эволюцию процесса во времени и его изменения в пространстве.

Коль скоро описана математическая модель изучаемого явления,  состоящая обычно из дифференциального уравнения вместе с начальными (а может быть и граничными) условиями, возникает вопрос: имеем ли мы в рамках предложенной модели адекватное описание явления, что, как  правило, сводится к вопросу существования и единственности решения  дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений. 

Применительно к нелинейным математическим моделям в этой книге вопрос решается путем анализа решений дифференциальных уравнений как  аналитических функций. Первым математиком, применившим аналитическую теорию  дифференциальных уравнений для решения задач механики, была С. В. Ковалевекая, которая получила замечательные результаты при анализе движения твердого тела вокруг неподвижной точки в поле сил тяжести.

Существенный прогресс в аналитической теории дифференциальных уравнений был достигнут П. Пенлеве и его учениками, выполнившими классификацию уравнений второго порядка первой степени. В изучаемом классе дифференциальных уравнений они нашли пятьдесят канонических уравнений, решения которых не имели критических подвижных точек. 

Решения сорока четырех уравнений из 50-ти выражались через известные к тому времени функции, а для оставшихся шести уравнений, Пенлеве и его ученики ввели новые функции, называемые теперь трансцендентами Пенлеве. Огромный интерес к аналитической теории дифференциальных  уравнений в последние годы возник из обнаруженной в 1980 г. М. Абловицем, А. Рамани и X. Сигуром связи нелинейных уравнений в частных производных,
имеющих солитонные решения, с уравнениями Пенлеве. Это  обстоятельство, наряду с появлением уравнений Пенлеве при описании физических  явлений, дало мощный импульс развитию аналитической теории нелинейных дифференциальных уравнений. Обобщение метода Ковалевской, сделанное в 1983 г. Дж. Вайсом, М. Табором и Г. Карневейлем, на случай нелинейных уравнений в частных производных, по существу, привело к созданию 
универсальных методов нахождения аналитических решений широкого класса нелинейных уравнений.

Упомянутые выше и многие другие темы рассмотрены в данной книге. В первой главе предложены выводы нелинейных математических  моделей, интенсивно изучаемых в последнее время, а именно: уравнения Кортевега - де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера, уравнения sin- Гордона, модели Хенона - Хейлеса и системы Лоренца. Эти уравнения служат иллюстрацией методов аналитической теории дифференциальных
уравнений, рассматриваемых в данной книге. Во второй главе приведены результаты, относящиеся к  обыкновенным дифференциальным уравнениям. Дается классификация особых  точек решений. Обсуждаются решение СВ. Ковалевской задачи о движении
твердого тела вокруг неподвижной точки в поле сил тяжести и уравнения Пенлеве.

Основной момент этой главы — исследование особых точек решения дифференциальных уравнений. Отсутствие критических подвижных 
особых точек у решения дифференциального уравнения является, по существу,
критерием существования решения. Поэтому во второй главе предложены
три алгоритма для тестирования дифференциальных уравнений, 
применение которых иллюстрируется на примерах. Обсуждаются также некоторые  свойства первого и второго уравнений Пенлеве, широко распространенных при описании явлений в физике.
Третья глава посвящена обсуждению свойств точно решаемых  нелинейных уравнений в частных производных. Рассмотрены такие характерные свойства, как законы сохранения, преобразования Бэклунда и их  применение. Предложен ряд широко известных семейств точно решаемых  уравнений в частных производных.
В этой же главе обсуждается применение аналитической теории для нелинейных уравнений в частных производных. Эта часть аналитической теории получила развитие лишь только в последние два десятилетия. 
Необходимость поиска критерия «интегрируемости» нелинейных  математических моделей вернула к жизни идеи, которые ранее применялись к  обыкновенным дифференциальным уравнениям. В результате были получены новые методы построения аналитических решений нелинейной  математической физики. Идея этих методов состоит в разложении исходного уравнения в ряд по степеням новой функции и дальнейшего использования  нескольких членов этого разложения. Эта процедура приводит к преобразованиям, которые особенно эффективны при построении решений нелинейных  уравнений, что иллюстрируется многочисленными примерами в четвертой главе данной книги.
В пятой главе рассмотрены нелинейные обыкновенные  дифференциальные уравнения четвертого и более высокого порядка. Найдены  уравнения, решения которых являются аналитическими функциями во всей  области их существования. Особое внимание уделено высшим аналогам  уравнений Пенлеве и изучению их свойств.
В шестой главе рассмотрены метод обратной задачи рассеяния и  метод Хироты для построения решений нелинейных уравнений в частных производных. Исторически эти методы предложены раньше и могут  изучаться вне связи с предшествующими разделами. Однако преобразования, используемые в этих методах, в аналитической теории дифференциальных
уравнений находятся естественным путем и поэтому метод обратной задачи рассеяния и метод Хироты примыкают к рассматриваемой теме.
Предлагаемая книга написана на основе лекций, читаемых автором в Московском инженерно-физическом институте (государственном  университете).

Автор искренне надеется, что эта книга будет полезна широкому кругу читателей. Тот, кто интересуется выводом нелинейных математических  моделей, найдет в первой главе нелинейные уравнения в частных производных и нелинейные динамические системы, интенсивно изучаемые в последние десятилетия.
Студенты, интересующиеся теорией солитонов, могут прочесть  первую, третью и шестую главы, чтобы получить представление о нелинейной математической физике.
Математики и физики, желающие узнать об уравнениях типа Пенлеве, а также о связи этих уравнений с теорией солитонов и нелинейными уравнениями в частных производных, могут изучить вторую и третью  главы. Эти главы могут рассматриваться, как элементарное введение в теорию уравнений Пенлеве, позволяющие понять, что такое свойство Пенлеве и 
какая польза может быть от того, что дифференциальное уравнение имеет это свойство.
Читатель, интересующийся методами построения частных решений, как нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, так и  нелинейных уравнений в частных производных, найдет ряд рецептов в четвертой главе.

Особое место в книге занимает пятая глава, которая выходит за рамки введения в аналитическую теорию нелинейных дифференциальных  уравнений. Эта глава посвящена высшим аналогам уравнений Пенлеве,  направление, которое интенсивно развивается лишь в последние несколько лет. Она будет полезна читателям, интересующимся самыми последними работами в теории уравнений Пенлеве. Задачи и упражнения этой главы являются нерешенными задачами данного направления и могут быть использованы в качестве тем для исследования. Рассматриваемые в книге вопросы автором неоднократно обсуждались с профессорами В.И. Громаком, Р. Контом, М. Крускалом, М. Мусет и Э. Пикерингом. Всем им выражаю свою искреннюю признательность. Хочу выразить благодарность своим коллегам по кафедре прикладной математики за многочисленные обсуждения проблем, затронутых в книге. Особая благодарность проф. Д.А. Василькову и доценту А.П. Карташеву, прочитавшим рукопись и сделавшим много замечаний, способствовавших улучшению книги; также признателен Н.В. Малышевой за нелегкий труд по набору текста.
Автор




Категория: Наши публикации | Добавил: admin (15.09.2011) | Автор: E W
Просмотров: 2948 | Комментарии: 0 | Теги: | Рейтинг: 0.0/0





ВЫБОР ПО КАТЕГОРИЯМ:

Наши публикации [65]



При полном или частичном использовании материалов
активная ссылка на портал VMATE.RU обязательна


Высшая математика онлайн - всё бесплатно, наш портал создан специально для студентов кому интересна высшая математика. У нас на портале возможно скачать бесплатно учебники по высшей математике, книги по математике или сделать заказ учебных пособий, скачать контрольные по высшей математике, заказать, задачники по высшей математики и решебники. Оставить запрос по предмету - аналитическая геометрия или задать вопрос - справочная по математике Заказать решение и т.д. Высшая математика онлайн - математический портал и здесь собраны шпаргалки по высшей математике и видео уроки. Добро пожаловать! Вход