РЕШАЕМ МАТЕМАТИКУ ВМЕСТЕ!
 
СТУДЕНТАМ:    Учебники     Решебники    Шпаргалки    Контрольные работы   Видео уроки

ШКОЛЬНИКАМ:  ГДЗ - 1 класс  2 класс  3 класс  4 класс  5 класс  6 класс  7 класс  8 класс  9 класс  10 класс  11 класс

Главная » Файлы » Учебные материалы » Высшая алгебра
Яцкин, Н. И. Алгебра : Теоремы и алгоритмы

13.01.2012, 18:11
Излагаются основы теории и приводятся указания к практическим и лабораторным занятиям по курсу алгебры и геометрии в рамках следующих тем: введение в линейную алгебру, алгебра комплексных чисел и алгебра многочленов. Пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по направлению
«Математика. Компьютерные науки».
 
 
ОГЛАВЛЕНИЕ
 
 
Предисловие 13
Глава 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И АЛГЕБРА МАТРИЦ 19
§ 1. Системы линейных уравнений и их решения. Матрицы и дей-
ствия над ними 19
1.1. Развернутая запись системы линейных уравнений 19
1.2. Матрицы 20
1.3. Матрицы-столбцы (арифметические векторы 22
1.4. Матричная запись для сл.у. Множество решений сл.у 23
1.5. Однородные сл.у 25
§ 2. Законы матричной алгебры 25
2.1. Аксиомы поля 25
2.2. Алгебраическая система матриц. Операция транспонирования 27
2.3. Законы для алгебраических операций над матрицами 28
§ 3. Свойства решений систем линейных уравнений 36
3.1. Свойсгва решений однородных и неоднородных сл.у 36
3.2. Линейные подпространства пространства К 38
3.3. Подмножества решений однородных и неоднородных сл.у. 39
§ 4. Равносильные системы линейных уравнений. Элементарные преобразования. Понятие о методе Гаусса 41
4.1. Равносильные сл.у 41
4.2. Элементарные преобразования с.л.у 41
4.3. Расширенная матрица сл.у. Матричное выражение элементарных преобразований над сл.у. 42
4.4. Идея метода Жордана — Гаусса (на примере) 43
§ 5. Метод Жордана — Гаусса для матриц 51
5.1. Матрицы ступенчатого вида, вида Жордана — Гаусса, модифици­рованного вида Жордана — Гаусса, скелетного вида 51
5.2. Теорема Жордана — Гаусса для матриц 53
§ 6. Метод /Кордана — Гаусса для систем линейных уравнений 56
6.1. Теорема Жордана — Гаусса для еду 56
6.2. Случай однородной сл.у 60
6.3. Случай квадратной Сл-у. Альтернатива Фредгольма 61
§ 7. Некоторые типовые задачи: системы линейных уравнений с параметром, линейные матричные уравнения 62
7.1. С-Л.у. с параметром 62
7.2. Линейные матричные уравнения 69
Глава 2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА. БАЗИСЫ И РАЗМЕРНОСТИ 75
§ 8. Системы векторов в пространстве I?" и их линейные оболочки. 75
8.1. Конечные системы арифметических векторов и соответствующие
матрицы 75
8.2. Линейная оболочка конечной с. в 77
8.3. Критерий принадлежности вектора линейной оболочке системы век-
торов  79
8.4. Примеры линейных оболочек 81
§ 9. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов 82
9.1. Понятие линейно зависимой (линейно независимой) с.в 82
9.2. Критерий линейной зависимости {линейной независимости) св.83
9.3. Свойства линейно зависимых (линейно независимых) с.в 84
9.4. Примеры линейно независимых с.в 86
§ 10. Базисы в линейных подпространствах пространства К" 87
10.1. Понятие базиса в линейном подпространстве арифметического ли­нейного пространства 87
10.2. Свойство единственности для разложения по базису 88
10.3. Теорема существования базиса 89
10.4. Свойство продолжения базисов 92
§ 11. Равномощность базисов в подпространстве. Понятие размер-
ности подпространства. Ступенчатый ранг матрицы 93
11.1. Теорема о равномощности всех базисов в данном подпространстве 93
11.2. Понятие размерности для линейного подпространства в простран­стве Нп 96
11.3. Размерность подпространства решений однородной сл.у 97
11.4. Ступенчатый ранг матрицы 97
§ 12. Столбцовый и строчный ранги матрицы 98
12.1. Ранг системы векторов и его свойства 98
12.2. Столбцовый и строчный ранга матрицы 99
12.3. Инвариантность столбцового (строчного) ранга при элементарных преобразованиях над строками (столбцами 100
12.4. Первая теорема о ранге матрицы 102
12.5. Ранг матрицы и исследование сл.у. (теорема Кронекера — Каиел-
ли 103
§ 13. Алгоритмы построения базисов и вычисления размерностей и рангов 104
13.1. Два способа задания линейных подпространств в пространстве R" 104
13.2. Базис и размерность для нуль-пространства матрицы 105
13.3. Базис и размерность для линейной оболочки столбцов матрицы . 107
13.4. Переход от второго способа задания линейных подпространств к первому 110
13.5. вычисление ранга матрицы, зависящей от параметра 114
13.6. Решение задач с арифметическими векторами средствами системы Maple 116
§ 14. Обратимые квадратные матрицы 119
14.1. Кольцо квадратных матриц заданного размера 119
14.2. Группа обратимых квадратных матриц 121
14.3. Элементарные матрицы и их связь с элементарными преобразова­ниями 123
14.4. Обратимость элементарных матриц. Выражение с помощью эле­ментарных матриц приводимости прямоугольной матрицы к ске­летному виду 127
14.5. Невырожденные матрицы. Первая теорема об условиях обратимо­сти матрицы 128 146. Алгоритм Жордана — Гаусса вычисления обратной матрицы 130
§ 15. Линейные операторы в арифметических линейных простран-
ствах 134
15.1. Линейные отображения арифметических линейных пространств и алгебраические действия над ними 134
15.2. Матрица линейного оператора (относительно естествешшх базисов в арифметических линейных пространствах 139
15-3- Теорема об изоморфизме для алгебраической системы линейных
операторов в арифметических линейных пространствах и алгебра-
ической системы прямоугольных матриц 141
15.4. Законы для алгебраических действий над линейными операторами 145
15.5. .Лилейные операторы в одном пространстве. Обратимые линейные операторы и обратимые матрицы 147
15.6. .Линейные эпиморфизмы и линейные мономорфизмы. Равносиль­ность моиоморфности и эииморфности л.-]я эндоморфизмов 148
Глава 3. ТЕОРИЯ ПЕРЕСТАНОВОК 157
§ 16. Перестановки и алгебраические действия над ними 157
16.1- Биекцин конечного множества 157
16.2. Умножение перестановок 160
16.3. Тождественная (единичная) перестановка 160
16.4. Обратная перестановка 161
16.5. Группа перестановок 161
16.6. Область действия перестановки. Независимые перестановки  162
16.7. Коммутирующие перестановки 162
16.8. Отображения левого (правого) сдвига и обращения на группе пе-
рестановок  163
§ 17. Циклические перестановки. Разложение перестановки в про-
изведение независимых циклов 164
17.1. Циклы и частичные ник. ил 164
17.2. Теорема о разложении перестановки на независимые циклы  166
17.3. Декремент перестановки 170
§ 18. Степени перестановки. Порядок перестановки 171
18.1. Целые степени перестановки и их свойства 171
18.2. Порядок перестановки 173
18.3. Степени и порядок для циклической перестановки 175
18.4. Вычисление порядка перестановки с помощью ее разложения на независимые циклы 176
§ 19. Разложение перестановки в произведение транспозиций 179
19.1. Разложение циклической перестановки в произведение транспози­ций 179
19.2. Разложение произвольной перестановки в произведение транспо­зиций 180
19.3. Коммуташюниые соотношения дтн транспозиций 181
19.4. Теорема о разложениях перестановки на транспозиции 182
§ 20. Знак и четность перестановки 185
20.1. Знак перестановки 185
20.2. Свойства знака 186
20.3. Четность перестановки. Подгруппа чегных перестановок  188
§ 21. Число инверсий в перестановке. Второй способ определения знака перестановки 191
21.1. И иверсии в перестановке 191
21.2. Второй способ определения знака перестановки 192
§ 22. Вычисления с перестановками в системе Maple 194
22.1. Форматы задания перестановок 194
22.2. Умножение перестановок в пакете group 196
22.3. Обращение перестановок в пакете group 197
22.4. Вычисление порядка перестановки 197
22.5. Вычисление знака перестановки 198
Глава 4. ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 199
§ 23. Определение определителя квадратной матрицы. Определи­тель треугольной матрицы. Определитель транспонированной матрицы 199
23.1. Определите определителя 199
23.2. Определители малых порядков 202
23.3. Определитель треугольной матрицы 203
23.4. Определитель транспонированной матрицы 204
§ 24. Определитель квадратной матрицы как полилинейная и анти-
симметрическая функция ее столбцов (строк) 206
24.1. Функции от векторов-столбцов (векторов-строк) квадратной мат­рицы 206
24.2. Полилинейность и антисимметричность функции Л *-> ае1(Л)  208
24.3. Следствия из свойств полилинейности и антисимметричности опре­делителя 211
24.4. Метод Гаусса вычисления определителей 212
§ 25. Вычисление определителя с помощью разложения по столбцу (строке) 213
25.1. Алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы  213
25.2. Теорема Лапласа о вычислении определителя разложением по стро­ке (столбцу) 216 25.3. Еще одно свойство алгебраических дополнений 217
25.4. Индуктивный алгоритм вычисления определителя 218
§ 26. Описание всех полилинейных и антисимметрических функций
от столбцов (строк) квадратной матрицы 220
26.1. Теорема о полилинейных и антисимметрических функциях от столб-
цов (строк) квадратной матрицы 220
26.2. Аксиоматический подход к определению определителя 222
§ 27. Определитель блочно-треугольной матрицы. Определитель произведения матриц 223
27.1. Определитель блочно-треутольной матрицы 223
27.2. Мультипликативное свойство определителя 226
§ 28. Присоединенная матрица. Выражение обратной матрицы че-
рез присоединенную 228
28-1- Определение и основное свойство присоединенной матрицы 228
28.2. Неособые матрицы. Вторая теорема об условиях обратимости мат­рицы 229
28.3. Алгоритм вычисления обратной матрицы с помощью присоединен­ной 231
§ 29. Решение квадратных систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера 233
29.1. Решение квадратных сл.у. с помощью обратной матрицы  233
29.2. Решение квадратных сл.у. но формулам Крамера 234
§ 30. Минорный ранг матрицы. Вторая теорема о ранге матрицы 230
30.1. Миноры матрицы 236
30.2. Минорный ранг матрицы 237
30.3. Вторая теорема о ранге матрицы239
30.4. Метод окаймляющих миноров для вычисления ранга матрицы 241
§ 30а. Рекуррентности и определители 243
30а. 1. Понятие о реку ррентностях 243
30а.2. -Линейные однородные рекуррентности второго порядка  246
ЗОа.3. Последовательность Фибоначчи 249
ЗОа.4. Определители некоторых трехди атональных матриц 250
30а. 5. Определитель Вандермонда 252
Глава 5. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 255
§ 31. Векторная модель поля комплексных чисел 255
31.1. Интуитивное представление о комплексных числах. Квадратное уравнение с действительными коэффициентами (случай отрица­тельного дискриминанта 255
31.2. Алгебраические действия над комплексными числами 259
31.3. Комплексные числа как двумерные действительные векторы.  262
31.4. Матричная модель для поля комштексных чисел 266
31.5. Вычисления с комплексными числами в алгебраической форме 267
§ 32. Комплексные числа в тригонометрической форме 272
32.1. Геометрическое представление комплексного чисча. Модуль, аргу­мент и тригонометрическая форма комплексного числа 272
32.2. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра 281 32.3. Извлечение корней из комплексных чисел в тригонометрической форме 285 § 33. Корни из единицы. Первообразные корни 292
33.1. Комплексные корни из единицы и их свойства 292 
33.2. Первообразные (примитивные) корни из единицы 297
33.3. Использование корней из единицы при вычислении корней из дру­гих комплексных чисел 298
§ 34. Показательная функция комплексного аргумента. Показатель-
ная форма комплексного числа 299
34.1. Основные понятия математического анализа функций комплекс­ного переменного 299 34.2. Показательная функция (экспонента) комплексного переменного 303
34.3. Формулы Эйлера Зй5
34.4. Показательная форма комплексного чисча 306
34.5. Натуральный логарифм комплексного чиста 307
§ 35. Основная теорема алгебры 308
35.1. Корни многочленов (с комплексными коэффициентами 308
35.2. Основная теорема алгебры (формулировка, идеи и этапы доказа­тельства) 309
35.3. Основная теорема алгебры (подробное доказательство 311
ГЛАВА 6. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ 318
§ 36. Векторная модель кольца многочленов (над полем 318
36.1. Алгебраическое определение многочлена над полем 318
36.2. Линейное пространство многочленов 323
36.3. Кольцо многочленов 324
36.1. Группа обратимых элементов кольца многочленов ЗЗП
36.2. Отношение ассоциированности в коммутативном кольце. Ассоци­ированные (пропорциональные) многочлены. Нормализованные многочлены 331
36-6. Целостные коммутативные кольца. Целостность кольца многочле-
нов  332
§ 37. Деление с остатком и отношение делимости в кольце много-
членов (над полем 334
37.1. Деление с остатком в кольце многочленов 334
37.2. Отношение делимости в целостном кольце. Делимость (нацело) для многочленов 338
§ 38. Алгоритм Евклида отыскания наибольшего общего делителя в кольце многочленов над полем 340
38.1. Понятие наибольшего общего делителя в целостном кольце. Усло­вие Везу 340
38.2. Существование НОД и алгоритм Евклида для его отыскания в кольце целых чисел 343
38.3. Существование НОД и алгоритм Евклида для его отыскания в кольце многочленов над полем 346
38.4. Отыскание линейного представления для НОД в кольце многочле­нов методом неопределенных коэффициентов 348
38.5. Взаимно простые элементы в целостном кольце (с условием Везу) 354
38.6. Взаимно простые многочлены 356
38.7. Наименьшее общее кратное. Связь НОК и НОД 358
38.8. Понятие о евклидовых кольцах 362
§ 39. Многочлены и полиномиальные функции. Корни многочле-
нов. Теорема Везу 363
39.1. Полиномиальные функции. Равенство многочленов и равенство полиномиальных функций 363
39.2. Корни многочленов и теорема Безу 368
39.3. Оценка количества (различных) корней многочлена 370
39.4. Многочлены и полиномиальные функции над бесконечным полем 371
§ 40. Кратность корпя. Оценка суммы кратностей корней. Алгеб-
раически замкнутые поля. Разложимость многочленов на ли-
нейные множители. Теорема Виета 372
40.1. Понятие кратности корня многочлена 372
40.2. Оценка суммы кратностей корней многочлена 373
40.3. Алгебраически замкнутые поля 375
40.4. Разложение многочлена над алгебраически замкнутым полем на линейные множители 376
40.5. Вычисление корней многочленов и разложение многочленов на множители средствами системы Maple 377
40.6. Теорема Виста 380
§ 41, Схема Горнера 383
41.1. Схема Горнера для вычисления значений многочленов 383
41.2. Разложение многочлена по степеням х — с (формула Тейлора) 385
41.3. Определение кратности корня многочлена с помощью схемы Гор­нера 387
§ 42. Рациональные корни многочленов с рациональными коэффи-
циентами 388
42.1. Многочлены с рациональными коэффициентами и многочлены с целыми коэффициентами 388
42.2. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами 389
42.3. Алгоритм отыскания всех рациональных корней для многочлена с целыми коэффициентам и 391
§ 43. Многочлены с действительными коэффициентами и их разло-
жение на линейные и квадратичные множители 395
43.1. Сопряженные многочлены для многочленов с комплексными ко­эффициентами 395
43.2. Комплексные корни для многочленов с действительными коэффи­циентами 396
43.3. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители 398
43.4. Примеры разложения многочленов над полем действительных чи­сел 399
§ 44. Неразложимые элементы в целостном кольце. Простые элемен-
ты. Неприводимые многочлены 401
44.1. Понятие неразложимого элемента в целостном кольце 401
44.2. Понятие простого элемента в целостном кольце 403
44.3. Канонические неразложимые (простые) элементы 405
44.4. Неприводимые многочлены 405
44.5. Неприводимые многочлены над алгебраически замкнутыми ноля­ми и над полем действительных чисел 407
§ 45. Факториальные кольца. Факториальность кольца целых чи-
сел (основная теорема арифметики) и факториальность кольца
многочленов (над полем 408
45.1. Определение факториалыюго кольца 408
45.2. Свойства факториальных колец 411
45.3. Достаточные условия факториалыюсти кольца. Факториальность евклидовых колец 413
45.4. Основная теорема арифметики 416
45.5. Факториальиость кольца многочленов над полем 417
§ 46. Факториальиость кольца многочленов над факториальным
кольцом. Неприводимые многочлены над полем Q и над коль-
цом Z 417
46.1. Содержание многочлена над факториалыным кольцом. Примитив­ные многочлены 417 46.2. Неразложимые элементы в кольце многочленов над факториаль-ным кольцом 420
46.3. .Лемма Гаусса 420
46.1. Поле частных целостного кольца 423
46.2. Сохранение неприводимости многочленов над факторнальным коль­цом при переходе к полю частных 424
46.3. Факториальиость кольца многочленов над факторнальным колыюм426
46.4. Признак Эйзенштейна неприводимости многочлена над фактори-альным кольцом 430
§ 47. Дифференцирование в кольце многочленов. Отделение крат-
ных множителей 434
47.1. Понятие характеристики ноля 434
47.2. Понятие (формальной) производной от многочлена 436
47.3. Высшие производные и формула Тейлора дтя многочленов  441
47.4. Кратность корня многочлена и значения производных 443
47.5. Уменьшение кратности неприводимого множителя многочлена при дифференцировании 443
47.6. Отделение кратных неприводимых множителей (кратных корней) 444
§ 48. Первоначальные понятия теории многочленов от нескольких переменных 447
48.1. Мультииндексы и их лексикографическое упорядочение 447
48.2. Многочлены от нескольких переменных. Лексикографическое упо­рядочение одночленов 452
48.3. Лемма о высшем члене произведения многочленов 457
48-4. Однородные многочлены (формы 458
48.5. Композиция многочленов (подстановка многочленов в многочлен) 459
§ 49. Симметрические многочлены 459
49.1. Определение симметрического многочлена 459
49.2. Лемма о высшем члене симметрического многочлена 462
49.3. Моногенные симметрические многочлены 463
49.4. Основная теорема о симметрических многочленах 464
49.5. Примеры выражения симметрических многочленов через элемен­тарные симметрические 469
49.6. Значения симметрических многочленов от корней многочлена  472
49.7. Дискриминант многочлена (от одной переменной 474
§ 50. Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и другие 477
50.1. Уравнения малых степеней над полем С 477
50.2. Метод Ферро — Тартальи — Кардано решения уравнений третьей степени 479
50.3. Метод Феррари решения уравнений четвертой степени 487
Приложение 1. Рисунки к главе 5 494
Приложение 2. Таблицы к главе 6 499
Список рекомендуемой литературы 505




Размер файла: (4.22Mb)

Категория: Высшая алгебра | Добавил: AsterBlue
Просмотров: 3819 | Загрузок: 1381 | Рейтинг: 0.0/0


Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]



ВЫБОР ПО КАТЕГОРИЯМ:

Аналитическая геометрия и алгебра [0]
Высшая алгебра [52]
История математики [55]
Математика для технарей [21]
Математика для экономистов, юристов и т.д.. [5]
Математическая логика и теория алгоритмов [40]
Теория вероятностей и мат. статистика [28]
Теория чисел [33]
Учебники по математике [46]



При полном или частичном использовании материалов
активная ссылка на портал VMATE.RU обязательна


Высшая математика онлайн - всё бесплатно, наш портал создан специально для студентов кому интересна высшая математика. У нас на портале возможно скачать бесплатно учебники по высшей математике, книги по математике или сделать заказ учебных пособий, скачать контрольные по высшей математике, заказать, задачники по высшей математики и решебники. Оставить запрос по предмету - аналитическая геометрия или задать вопрос - справочная по математике Заказать решение и т.д. Высшая математика онлайн - математический портал и здесь собраны шпаргалки по высшей математике и видео уроки. Добро пожаловать! Вход