РЕШАЕМ МАТЕМАТИКУ ВМЕСТЕ!
 
СТУДЕНТАМ:    Учебники     Решебники    Шпаргалки    Контрольные работы   Видео уроки

ШКОЛЬНИКАМ:  ГДЗ - 1 класс  2 класс  3 класс  4 класс  5 класс  6 класс  7 класс  8 класс  9 класс  10 класс  11 класс


Главная » Файлы » Учебные материалы » Высшая алгебра
Феферман С. Числовые системы: основания алгебры и анализа

14.01.2012, 01:58
Вначале автор излагает элементы математической логики, наивной теории множеств вплоть до возникновения парадоксов. Затем выбирается некоторая система аксиом теории множеств (она приводится полностью в добавлении I), лежащая в основе всего дальнейшего изложения. Аксиоматическое изложение обычно перегружается формальными выкладками, затрудняющими чтение. Автор удачно избегает этого, вместе с тем сохраняя достаточную строгость, и всюду заботится о логической обоснованности каждого нового шага, каждого введения нового понятия, стараясь заблаговременно подготовить читателя к этому. Автор также показывает важность полученных результатов, мотивирует необходимость изучения возникающих вопросов и, наконец, не только знакомит читателя с некоторым кругом идей и методов, но и старается развивать у него определенные навыки творческого мышления, навыки в решении задач. Перечисленные методические достоинства наряду с несомненными научными позволяют рекомендовать книгу в качестве учебного пособия для физико-математических школ, для студентов младших курсов педагогических вузов и университетов. Без сомнения, она должна заинтересовать также учителей математики школ и преподавателей математики высших учебных заведений.
 
 
СОДЕРЖАНИЕ
 
 
Предисловие редактора 7
Предисловие 9
Глава 1 Логические предпосылки 11
1.1. Введение 11
Математический метод (13).
1.2. Логика 15
Математические утверждения и их строение (15). Существование
(18). Логические связки (21).
Глава 2 Теоретико-множественные предпосылки 25
2.1. Множества 25
Множества как абстракции от условий (25). Расширение понятия
множества (28). Тождество и включение (31). Некоторые особенные
множества (33).
2.2. Алгебра множеств 37
Пересечение, объединение и дополнение (37). Основные законы
алгебры множеств (41). Расширение понятий пересечения и
объединения (45).
2.3. Отношения и функции 47
Отношения как абстракции от условий (47). Упорядоченные пары и
декартовы произведения (49). Область определения, область
значений, инверсия (51). Тернарные (и т. д.) отношения (54).
Операции над отношениями, композиция (55). Специальные виды
отношений (56). Отношения эквивалентности и разбиения (57).
Функции (58). Отношения конгруентности F3). Инверсия функции и
композиция функций F5).
2.4. Математические системы отношений и функций 67
Изоморфизм F8). Теоретико-множественная эквивалентность G0).
Подсистемы G1).
Глава 3 Положительные целые числа 77
3.1. Основные свойства 77
Системы Пеано и доказательства по индукции G8). Функции на
системах Пеано (80). Изоморфизм систем Пеано (84).
3.2. Арифметика положительных целых чисел 86
Рекурсивные определения (86). Сложение положительных целых
чисел (88). Умножение положительных целых чисел (91).
Возведение в степень и другие операции (93).
3.3. Порядок 94
Линейно упорядоченные системы (95). Вполне упорядоченные
системы (97). Упорядочение и арифметические операции (101).
3.4. Последовательности, суммы и произведения 103 Конечные и бесконечные последовательности (103). Обобщенные суммы и произведения (105). Обобщенные законы ассоциативности и коммутативности (106). Некоторые специальные суммы и произведения (ПО).
Глава 4 Целые числа и области целостности 1 114
4.1. Расширение области натуральных чисел 114 Практические мотивировки (114). Алгебраические мотивировки (116). Коммутативные кольца с единицей (118).
4.2. Области целостности 122 Упорядоченные области целостности (123). Абсолютные величины (126).
4.3. Построение и характеристика целых чисел 127 Теорема существования (128). Однозначность характеристики (134).
4.4. Целые числа как система индексов 136 Более общие законы ассоциативности и коммутативности (139). Геометрическая прогрессия, биномиальное разложение (141).
4.5. Математические свойства целых чисел 145 Алгоритм деления (145). Отношение делимости и простые числа (147). Наибольшие общие делители (149), Разложение целых чисел на простые множители (153). Позиционные системы обозначений целых чисел (156).
4.6. Отношения конгруентности в области целых чисел 161 Гомоморфизмы (162). Свойства, сохраняющиеся при гомоморфизмах (163). Отношение конгруентности по модулю целого числа (166). Приложения к задаче Диофанта (168).
Глава 5 Полиномы 172
5.1. Полиномиальные функции и полиномиальные формы 172 Существование и единственность простых трансцендентных расширений (174). Делимость и корни полиномов (183). Формальные производные (184).
5.2. Полиномы от нескольких переменных 185 ^-кратные трансцендентные расширения (186). Симметрические полиномы (191). Основная теорема о симметрических полиномах (194).
Глава 6 Рациональные числа и поля 199
6.1. К расширению областей целостности 199 Алгебраические мотивировки (199). Геометрические мотивировки (200). Поля (202). Упорядоченные поля; плотные упорядочения (205). Некоторые конечные поля (206).
6.2. Поля частных 207 Теорема существования (207). Изоморфизм полей частных (213). Рациональные числа; поля рациональных форм (214).
6.3. Решения алгебраических уравнений в полях 216 Системы линейных уравнений (217). Линейные уравнения в областях целостности (222). Полиномиальные уравнения в рациональных числах (223).
6.4. Полиномы над произвольным полем 225 Основные свойства делимости (226). Простые полиномы (228). Алгоритм деления для полиномов (230). Наибольшие общие делители (231). Теорема об однозначной разложимости поли- полиномов (233).
 Глава 7 Действительные числа 239
7.1. К расширению системы рациональных чисел 239 Алгебраические мотивировки (239). Геометрические мотиви- мотивировки (241). Верхние н нижние классы сеченнн, непрерывно упорядоченные системы (244). Существование непрерывно упо- упорядоченных систем (246). Наибольшие нижние и наименьшие верхние грани (249).
7.2. Непрерывно упорядоченные поля 253 Свойство Архимеда (253). Изоморфизм непрерывно упорядо- упорядоченных полей (257). Пределы (258). Фундаментальные после- последовательности (261). Теорема Больцано — Вейерштрасса (262). Построение непрерывно упорядоченного поля (267).
7.3. Бесконечные ряды и разложения действительных чисел 276 Позиционные обозначения для действительных чисел (277). Степенные ряды (283). Экспоненциальная функция (285).
7.4. Полиномы и непрерывные функции в области действитель- действительных чисел 289 Теорема Вейерштрасса об обращении н нуль (290). Действи- Действительные полиномы и их корни (292). Вычисление корней (297). Локализация всех корней; теорема Штурма (300). Рациональ- Рациональные и действительные степени действительных чисел (308).
 7.5. Алгебраические и трансцендентные числа 311 Метод Каитора (312). Счетные и несчетные множества (314). Существование трансцендентных действительных чисел (318). Метод Лиувнлля (320).
Глава 8 Комплексные числа 327
8.1. Основные свойства 327 Характеристика комплексных чисел (327). Комплексная сопря- сопряженность (330). Квадратные корни из комплексных чисел (331). Геометрическая интерпретация (333). Абсолютная величина (334). Основные свойства TpHronoM(5TpH4(5(3KHXi функций^(337). Тригонометрическая форма, теорема Муавра (341). Корни п-Я степени нз комплексных чисел (342).
8.2. Полиномы и непрерывные функции в области комплексных чисел 346 Пределы н обобщенная теорема Больцано — Вейерштрасса (347). Обобщение понятия непрерывности (350). Полиномиальные функции; рост н минимум их модулей (352). Основная теорема алгебры комплексных чисел (354). О вычислении корней ком- комплексных полиномов (358). Разложение действительных поли- полиномов (359).
8.3. Корни комплексных полиномов 360 Корин полиномов над подполем (360). Алгебраически замк- замкнутые подполя (361). Кратные корни, дискриминанты (366). Корни кубического уравнения (370). Корин уравнений четвер- четвертой степени (373). Об уравнениях высших степеней (374).
Глава 9 Поля алгебраических чисел и расширения полей 377
9.1. Порождение подполей 377 Общий процесс расширения (379). Простые расширения (379). Простые трансцендентные расширения (380). Простые алгебраи- алгебраические расширения (381). Присоединение корней к произволь- произвольным полям (385).
9.2. Алгебраические расширения 388 Линейно порожденные расширения; базы и размерность (390). Конечные расширения полей (393). Повторные конечные рас- расширения (394).
9.3. Приложения к задачам о геометрических построениях 397 Основные геометрические понятия (397). Реализация в декарто- декартовой плоскости (397). Построения с помощью циркуля и линей- линейки (399). Алгебраический эквивалент задач на построение (401). Некоторые классические задачи иа построение (404). Пра- Правильные многоугольники; решение Гаусса (406).
9.4. Заключение 409
Добавление I Некоторые аксиомы теории множеств 412
Добавление II Аналитическое определение тригонометрических функций
422 Список книг для дальнейшего чтения
430 Именной указатель
431 Предметный указатель
432 Указатель обозначений 436




Размер файла: (5.70Mb)

Категория: Высшая алгебра | Добавил: AsterBlue
Просмотров: 2146 | Загрузок: 397 | Рейтинг: 0.0/0


Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]



ВЫБОР ПО КАТЕГОРИЯМ:

Аналитическая геометрия и алгебра [0]
Высшая алгебра [52]
История математики [55]
Математика для технарей [21]
Математика для экономистов, юристов и т.д.. [5]
Математическая логика и теория алгоритмов [40]
Теория вероятностей и мат. статистика [28]
Теория чисел [33]
Учебники по математике [46]



При полном или частичном использовании материалов
активная ссылка на портал VMATE.RU обязательна


Высшая математика онлайн - всё бесплатно, наш портал создан специально для студентов кому интересна высшая математика. У нас на портале возможно скачать бесплатно учебники по высшей математике, книги по математике или сделать заказ учебных пособий, скачать контрольные по высшей математике, заказать, задачники по высшей математики и решебники. Оставить запрос по предмету - аналитическая геометрия или задать вопрос - справочная по математике Заказать решение и т.д. Высшая математика онлайн - математический портал и здесь собраны шпаргалки по высшей математике и видео уроки. миэмп Добро пожаловать! Вход