Главная
» Файлы
» Учебные материалы
» Учебники по математике
Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений.
| 15.09.2011,
21:20 |
| Кудряшов Н.А.
Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. —
Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 360 с.
При решении различных задач естествознания исследователи часто
используют язык математики, с помощью которого разрабатываются
математические модели явлений в биологии, физике, химии, экономике, экологии
и т.д. С этой целью для математического описания процессов вводятся
количественные характеристики: зависимые и независимые переменные,
соотношения между которыми и составляют основу математической модели.
|
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 9
Глава 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ... 13
1.1 Уравнение Кортевега - де Вриза для описания волн на воде . 13
1.2 Простейшие решения уравнения Кортевега - де Вриза .... 23
1.3 Модель для описания возмущений в цепочке одинаковых масс 26
1.4 Простейшие решения модифицированного уравнения
Кортевега - де Вриза 32
1.5 Фазовая и групповая скорости волн 35
1.6 Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей
волнового пакета 39
1.7 Уединенные волны, описываемые нелинейным уравнением
Шредингера и групповой солитон 42
1.8 Уравнение sin-Гордона для описания дислокаций в твердом
теле 44
1.9 Простейшие решения уравнения sin-Гордона и
топологический солитон 48
1.10 Нелинейное уравнение переноса и уравнение Бюргерса ... 51
1.11 Модель Хенона - Хейлеса 57
1.12 Система Лоренца 60
1.13 Задачи и упражнения к главе 1 68
Глава 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 71
2.1 Классификация особых точек функций комплексной
переменной 71
2.2 Неподвижные и подвижные особые точки 74
2.3 Уравнения, не имеющие решений с критическими
подвижными особыми точками 76
2.4 Задача Ковалевской о волчке 82
2.5 Определение свойства Пенлеве и уравнения Пенлеве 85
6 Оглавление
2.6 Второе уравнение Пенлеве для описания электрического
поля в полупроводниковом диоде 87
2.7 Алгоритм Ковалевской анализа дифференциальных уравнений 91
2.8 Локальные представления решений уравнений типа Пенлеве . 96
2.9 Метод Пенлеве для анализа дифференциальных уравнений . 100
2.10 Трансцендентная зависимость решений первого уравнения
Пенлеве 106
2.11 Неприводимость уравнений Пенлеве 111
2.12 Преобразования Бэклунда для решений второго уравнения
Пенлеве 113
2.13 Рациональные и специальные решения второго уравнения
Пенлеве 114
2.14 Дискретные уравнения Пенлеве 116
2.15 Асимптотические решения первого и второго уравнений
Пенлеве 118
2.16 Линейные представления уравнений Пенлеве 120
2.17 Алгоритм Конта - Форди - Пикеринга для проверки
уравнений на свойство Пенлеве 122
2.18 Примеры анализа уравнений методом возмущений Пенлеве . 125
2.19 Тест Пенлеве для системы уравнений Хенона-Хейлеса . . . . 128
2.20 Точно решаемые случаи системы Лоренца 131
2.21 Задачи и упражнения к главе 2 135
Глава 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В
ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 138
3.1 Интегрируемые системы 138
3.2 Преобразование Коула - Хопфа для уравнения Бюргерса . . . 141
3.3 Преобразование Миуры и пара Лакса для уравнения Корте-
вега - де Вриза 144
3.4 Законы сохранения для уравнения Кортевега - де Вриза ... 146
3.5 Отображения и преобразования Бэклунда 149
3.6 Преобразования Бэклунда для уравнения sin-Гордона 151
3.7 Преобразования Бэклунда для уравнения Кортевега - де Вриза 153
3.8 Семейство уравнений Кортевега - де Вриза 155
3.9 Семейство уравнений АКНС 157
3.10 Тест Абловица - Рамани - Сигура для нелинейных уравнений
в частных производных 160
3.11 Метод Вайса - Табора - Карневейля для анализа нелинейных
уравнений 163
3.12 Пенлеве-анализ уравнения Бюргерса методом ВТК 165
Оглавление
7
3.13 Анализ уравнения Кортевега - де Вриза 168
3.14 Построение пары Лакса для уравнения Кортевега - де Вриза
методом ВТК 169
3.15 Анализ модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза 171
3.16 Усеченные разложения, как отображения решений
нелинейных уравнений 172
3.17 Инвариантный пенлеве-анализ 174
3.18 Применение инвариантного пенлеве-анализа для нахождения
пар Лакса 176
3.19 Соотношения между основными точно решаемыми
нелинейными уравнениями 179
3.20 Семейство уравнений Бюргерса 187
3.21 Задачи и упражнения к главе 3 189
Глава 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 193
4.1 Применение усеченных разложений для построения частных
решений неинтегрируемых уравнений 193
4.2 Точные решения уравнения Бюргерса - Хаксли 197
4.3 Частные решения уравнения Бюргерса - Кортевега - де Вриза 205
4.4 Уединенные волны, описываемые уравнением Курамото -
Сивашинского 208
4.5 Кноидальные волны, описываемые уравнением Курамото -
Сивашинского 215
4.6 Частные решения простейшего нелинейного волнового
уравнения пятого порядка 217
4.7 Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для
описания волн на воде 220
4.8 Решения уравнения Кортевега - де Вриза пятого порядка в
переменных бегущей волны 230
4.9 Точные решения модели Хенона - Хейлеса 235
4.10 Метод нахождения рациональных решений некоторых точно
решаемых нелинейных уравнений 237
4.11 Задачи и упражнения к главе 4 241
Глава 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ И ИХ
СВОЙСТВА 244
5.1 Анализ уравнений четвертого порядка на свойство Пенлеве . 244
5.2 Уравнения четвертого порядка, прошедшие тест Пенлеве . . .251
8
Оглавление
5.3 Трансценденты, определяемые нелинейными уравнениями
четвертого порядка \ . . . 253
5.4 Локальные представления решений для уравнений
четвертого порядка 258
5.5 Асимптотические свойства трансцендент
уравнений четвертого порядка 264
5.6 Семейства уравнений с решениями в виде трансцендент . . . 266
5.7 Пары Лакса для уравнений четвертого порядка 271
5.8 Обобщения уравнений Пенлеве 277
5.9 Преобразования Бэклунда для высших аналогов уравнений
Пенлеве 284
5.10 Рациональные и специальные решения высших аналогов
уравнений Пенлеве 291
5.11 Дискретные уравнения, соответствующие высшим аналогам
уравнений Пенлеве 295
5.12 Задачи и упражнения к главе 5 304
ГЛАВА 6. МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА - ДЕ ВРИЗА 306
6.1 Задача Коши для уравнения Кортевега - де Вриза 306
6.2 Прямая задача рассеяния 307
6.3 Интегральный вид стационарного уравнения Шредингера . . 313
6.4 Аналитические свойства амплитуды рассеяния 315
6.5 Уравнение Гельфанда - Левитана - Марченко 318
6.6 Интегрирование методом обратной задачи рассеяния
уравнения Кортевега - де Вриза 321
6.7 Решение уравнения Кортевега - де Вриза в случае
безотражательных потенциалов 323
6.8 Оператор Хироты и его свойства 326
6.9 Нахождение солитонных решений уравнения Кортевега -
де Вриза методом Хироты 327
6.10 Метод Хироты для модифицированного уравнения
Кортевега - де Вриза 331
6.11 Задачи и упражнения к главе 6 333
Литература 337
Предметный указатель
357
|
|
Размер файла: (3.94Mb)
| |
Категория: Учебники по математике | Добавил:
admin
|
| Просмотров:
6180 | Загрузок: 1509
| Рейтинг: 4.2/4 |
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи. [ Регистрация | Вход ] |
|
