Главная
» Файлы
» Учебные материалы
» Учебники по математике
Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений.
| 15.09.2011,
21:20 |

| Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 360 с.
При решении различных задач естествознания исследователи часто используют язык математики, с помощью которого разрабатываются математические модели явлений в биологии, физике, химии, экономике, экологии и т.д. С этой целью для математического описания процессов вводятся количественные характеристики: зависимые и независимые переменные, соотношения между которыми и составляют основу математической модели.
|
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 9 Глава 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ... 13 1.1 Уравнение Кортевега - де Вриза для описания волн на воде . 13 1.2 Простейшие решения уравнения Кортевега - де Вриза .... 23 1.3 Модель для описания возмущений в цепочке одинаковых масс 26 1.4 Простейшие решения модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза 32 1.5 Фазовая и групповая скорости волн 35 1.6 Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей волнового пакета 39 1.7 Уединенные волны, описываемые нелинейным уравнением Шредингера и групповой солитон 42 1.8 Уравнение sin-Гордона для описания дислокаций в твердом теле 44 1.9 Простейшие решения уравнения sin-Гордона и топологический солитон 48 1.10 Нелинейное уравнение переноса и уравнение Бюргерса ... 51 1.11 Модель Хенона - Хейлеса 57 1.12 Система Лоренца 60 1.13 Задачи и упражнения к главе 1 68 Глава 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 71 2.1 Классификация особых точек функций комплексной переменной 71 2.2 Неподвижные и подвижные особые точки 74 2.3 Уравнения, не имеющие решений с критическими подвижными особыми точками 76 2.4 Задача Ковалевской о волчке 82 2.5 Определение свойства Пенлеве и уравнения Пенлеве 85 6 Оглавление 2.6 Второе уравнение Пенлеве для описания электрического поля в полупроводниковом диоде 87 2.7 Алгоритм Ковалевской анализа дифференциальных уравнений 91 2.8 Локальные представления решений уравнений типа Пенлеве . 96 2.9 Метод Пенлеве для анализа дифференциальных уравнений . 100 2.10 Трансцендентная зависимость решений первого уравнения Пенлеве 106 2.11 Неприводимость уравнений Пенлеве 111 2.12 Преобразования Бэклунда для решений второго уравнения Пенлеве 113 2.13 Рациональные и специальные решения второго уравнения Пенлеве 114 2.14 Дискретные уравнения Пенлеве 116 2.15 Асимптотические решения первого и второго уравнений Пенлеве 118 2.16 Линейные представления уравнений Пенлеве 120 2.17 Алгоритм Конта - Форди - Пикеринга для проверки уравнений на свойство Пенлеве 122 2.18 Примеры анализа уравнений методом возмущений Пенлеве . 125 2.19 Тест Пенлеве для системы уравнений Хенона-Хейлеса . . . . 128 2.20 Точно решаемые случаи системы Лоренца 131 2.21 Задачи и упражнения к главе 2 135 Глава 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 138 3.1 Интегрируемые системы 138 3.2 Преобразование Коула - Хопфа для уравнения Бюргерса . . . 141 3.3 Преобразование Миуры и пара Лакса для уравнения Корте- вега - де Вриза 144 3.4 Законы сохранения для уравнения Кортевега - де Вриза ... 146 3.5 Отображения и преобразования Бэклунда 149 3.6 Преобразования Бэклунда для уравнения sin-Гордона 151 3.7 Преобразования Бэклунда для уравнения Кортевега - де Вриза 153 3.8 Семейство уравнений Кортевега - де Вриза 155 3.9 Семейство уравнений АКНС 157 3.10 Тест Абловица - Рамани - Сигура для нелинейных уравнений в частных производных 160 3.11 Метод Вайса - Табора - Карневейля для анализа нелинейных уравнений 163 3.12 Пенлеве-анализ уравнения Бюргерса методом ВТК 165 Оглавление 7 3.13 Анализ уравнения Кортевега - де Вриза 168 3.14 Построение пары Лакса для уравнения Кортевега - де Вриза методом ВТК 169 3.15 Анализ модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза 171 3.16 Усеченные разложения, как отображения решений нелинейных уравнений 172 3.17 Инвариантный пенлеве-анализ 174 3.18 Применение инвариантного пенлеве-анализа для нахождения пар Лакса 176 3.19 Соотношения между основными точно решаемыми нелинейными уравнениями 179 3.20 Семейство уравнений Бюргерса 187 3.21 Задачи и упражнения к главе 3 189 Глава 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 193 4.1 Применение усеченных разложений для построения частных решений неинтегрируемых уравнений 193 4.2 Точные решения уравнения Бюргерса - Хаксли 197 4.3 Частные решения уравнения Бюргерса - Кортевега - де Вриза 205 4.4 Уединенные волны, описываемые уравнением Курамото - Сивашинского 208 4.5 Кноидальные волны, описываемые уравнением Курамото - Сивашинского 215 4.6 Частные решения простейшего нелинейного волнового уравнения пятого порядка 217 4.7 Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде 220 4.8 Решения уравнения Кортевега - де Вриза пятого порядка в переменных бегущей волны 230 4.9 Точные решения модели Хенона - Хейлеса 235 4.10 Метод нахождения рациональных решений некоторых точно решаемых нелинейных уравнений 237 4.11 Задачи и упражнения к главе 4 241 Глава 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ И ИХ СВОЙСТВА 244 5.1 Анализ уравнений четвертого порядка на свойство Пенлеве . 244 5.2 Уравнения четвертого порядка, прошедшие тест Пенлеве . . .251 8 Оглавление 5.3 Трансценденты, определяемые нелинейными уравнениями четвертого порядка \ . . . 253 5.4 Локальные представления решений для уравнений четвертого порядка 258 5.5 Асимптотические свойства трансцендент уравнений четвертого порядка 264 5.6 Семейства уравнений с решениями в виде трансцендент . . . 266 5.7 Пары Лакса для уравнений четвертого порядка 271 5.8 Обобщения уравнений Пенлеве 277 5.9 Преобразования Бэклунда для высших аналогов уравнений Пенлеве 284 5.10 Рациональные и специальные решения высших аналогов уравнений Пенлеве 291 5.11 Дискретные уравнения, соответствующие высшим аналогам уравнений Пенлеве 295 5.12 Задачи и упражнения к главе 5 304 ГЛАВА 6. МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА - ДЕ ВРИЗА 306 6.1 Задача Коши для уравнения Кортевега - де Вриза 306 6.2 Прямая задача рассеяния 307 6.3 Интегральный вид стационарного уравнения Шредингера . . 313 6.4 Аналитические свойства амплитуды рассеяния 315 6.5 Уравнение Гельфанда - Левитана - Марченко 318 6.6 Интегрирование методом обратной задачи рассеяния уравнения Кортевега - де Вриза 321 6.7 Решение уравнения Кортевега - де Вриза в случае безотражательных потенциалов 323 6.8 Оператор Хироты и его свойства 326 6.9 Нахождение солитонных решений уравнения Кортевега - де Вриза методом Хироты 327 6.10 Метод Хироты для модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза 331 6.11 Задачи и упражнения к главе 6 333 Литература 337 Предметный указатель 357
|
|
Размер файла: (3.94Mb)
|
Категория: Учебники по математике | Добавил:
admin
|
Просмотров:
6511 | Загрузок: 1587
| Рейтинг: 4.4/5 |
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи. [ Регистрация | Вход ]
|
|